好的，让我们来逐步解决这三个练习题：
练习题1：18a² - 45ab 3am²
解题过程： 1. 提取公因数： 找出多项式的各项系数和相同字母的最小指数部分。
- 系数：18, 45, 3 的最大公约数是 3。
- 字母 a 在所有项中都存在，次数分别是 2、1、0，所以公共指数为 1。
因此，公因式为 ( 3a )。
-
提取并简化： 将每个项除以公因式 ( 3a )，得到括号内的表达式。
-
( 18a^2 ÷ 3a = 6a )
- ( -45ab ÷ 3a = -15b )
- ( 3am² ÷ 3a = m² )
所以，提取公因式后，得到：
[ 18a^2 - 45ab 3am^2 = 3a(6a - 15b m^2) ]
结论： [ 18a^2 - 45ab 3am^2 = 3a(6a - 15b m^2) ]
练习题2：x³ y³
解题过程： 1. 识别公式类型： 这是一个立方和，形式为 ( a^3 b^3 )，可以使用立方和公式分解。
- 应用公式：
立方和公式为： [ x^3 y^3 = (x y)(x^2 - xy y^2) ]
应用后，得到：
[ x^3 y^3 = (x y)(x^2 - xy y^2) ]
结论： [ x^3 y^3 = (x y)(x^2 - xy y^2) ]
练习题3：a²x³ a²y³
解题过程： 1. 提取公因数： 观察两项 ( a^2x^3 ) 和 ( a^2y^3 )，它们都有公因式 ( a^2 )。
提取后，得到：
[ a^2x^3 a^2y^3 = a^2(x^3 y^3) ]
- 进一步分解： 剩下的括号内部分 ( x^3 y^3 ) 可以应用立方和公式分解。
应用后，得到：
[ a^2(x^3 y^3) = a^2(x y)(x^2 - xy y^2) ]
结论： [ a^2x^3 a^2y^3 = a^2(x y)(x^2 - xy y^2) ]
三个练习题的最终答案：
- ( 18a^2 - 45ab 3am^2 = 3a(6a - 15b m^2) )
- ( x^3 y^3 = (x y)(x^2 - xy y^2) )
- ( a^2x^3 a^2y^3 = a^2(x y)(x^2 - xy y^2) )
每个练习题都通过提取公因式和应用立方和公式进行分解，结果正确。
因式分解背景、内容、方法及练习
一、因式分解背景
因式分解是初中数学中的一个重要内容，它与前一章整式四则运算以及后一章分式联系极为密切。因式分解将一个多项式分解成几个整式的乘积形式的过程叫做因式分解。
广泛意义下的因式分解
在广泛意义下，因式分解是把一个代数式转化成几个整式的乘积形式，这在实际生活中也有应用，例如计算面积或体积等。但在本节中，我们主要研究从多项式角度出发的因式分解。
二、因式分解的基本方法
- 提取公因数：
-
遇到同类项时，可以直接提取公因数。
-
平方差公式：对于形如 ( a^2 - b^2 ) 的多项式，可以分解为 ( (a - b)(a b) )。
-
完全平方公式：对于形如 ( a^2 2ab b^2 ) 或 ( a^2 - 2ab b^2 ) 的多项式，分别可分解为 ( (a b)^2 ) 和 ( (a - b)^2 )。
三、因式分解与整式乘法的关系
因式分解是整式乘法的逆过程。也就是说，如果我能找到两个或多个整式的乘积等于原来的多项式，那么我就完成了因式分解。例如： [ x^2 - 9 = (x 3)(x - 3) ] 其中，右边是左边的因式。
四、因式分解练习
在学习过程中，可以采用以下方法进行练习：
-
直接提取公因数：将多项式中的公共因子提取出来。
-
应用平方差公式：
-
对于 ( a^2 - b^2 )，可以直接应用平方差公式分解。
-
应用完全平方公式：
- 对于形如 ( (a b)^2 ) 或 ( (a - b)^2 ) 的多项式，可以考虑是否是完全平方形式。
例题分析
例1: 分解因式 ( 6x^2 3x )。 - 解：首先提取公因数 3x： [ 6x^2 3x = 3x(2x 1) ]
例2: 分解因式 ( a^2 - 9 )。 - 解：应用平方差公式，( a^2 - b^2 = (a b)(a - b) )，所以： [ a^2 - 9 = (a 3)(a - 3) ]
例3: 分解因式 ( x^2 6x 9 )。 - 解：应用完全平方公式，( (a b)^2 = a^2 2ab b^2 )，所以： [ x^2 6x 9 = (x 3)^2 ]
五、作业安排
- 基础练习：将下列多项式分解因式。
- ( 4x^2 - 1 )
- ( 5y^2 10y )
-
( 7m^3n - 28mn^2 )
-
变式训练：根据以下条件，求出相应的因数：
- 分解因式 ( x^2 - xy ) 得到因式 ( (x - a)(b y) )，则 ( a = ) ，( b = ) 。
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分解因式 ( 16a^3 - 4a ) 得到因式 ( (4a^2 2a)(c d) )，则 ( c = ) ，( d = ) 。
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综合应用题：设 ( a = x y )，分解因式 ( a^3 - b^3 )。
- 解：应用立方差公式，( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 ab b^2) )，所以： [ a^3 - b^3 = (x y - b)( (x y)^2 (x y)b b^2 ) ]
六、小结与作业
通过因式分解，我们可以将一个多项式转化为多个更简单的乘积形式。这一方法不仅在代数中使用广泛，在后续的学习和应用中也具有重要意义。
希望以上内容对您学习因式分解有所帮助！如果有进一步的问题或需要详细解答，请随时告诉我！
因式分解是代数中非常重要的一个知识点，它不仅在多项式运算中起着基础作用，在解方程、化简分式等其他方面也有广泛的应用。以下是因式分解与解方程的结合应用的思考过程：
1. 理解因式分解的意义
因式分解是将一个多项式表示成几个整式的乘积形式。这种分解不仅有助于简化复杂的运算，还为后续的代数操作（如解方程、化简分式等）提供工具。
2. 因式分解在多项式除法中的应用
在多项式除法中，因式分解可以简化计算过程： - 例1：计算 ( (2ab - 8a b) \div (4a - b) ) - 首先将被除数 ( 2ab - 8a b ) 进行因式分解，得到 ( 2ab(1 - 4) = -6ab )。 - 然后，多项式除法中可以进行约分，即： [ (2ab - 8a b) \div (4a - b) = (-6ab) \div (4a - b) ] - 进一步分解分子和分母： [ = -6ab \div [2(2a - b)] ] - 最终结果为： [ = -3b ]
- 例2：解方程 ( (4x - 9)(3 - 2x) = 0 )
- 利用因式分解的零乘积性质，如果两个因子相乘等于0，则至少有一个因子为0： [ 4x - 9 = 0 \quad \text{或} \quad 3 - 2x = 0 ]
- 解方程得： [ x = \frac{9}{4} \quad \text{或} \quad x = \frac{3}{2} ]
3. 因式分解在解方程中的应用
因式分解为了解方程提供了一种方法： - 例1：解方程 ( (x 2)(x - 3) = 0 ) - 利用零乘积性质，解得： [ x 2 = 0 \quad \text{或} \quad x - 3 = 0 ] - 解为： [ x = -2 \quad \text{或} \quad x = 3 ]
- 例2：解方程 ( (x 4)(1 - x) = 0 )
- 利用零乘积性质，解得： [ x 4 = 0 \quad \text{或} \quad 1 - x = 0 ]
- 解为： [ x = -4 \quad \text{或} \quad x = 1 ]
4. 因式分解在解复杂方程中的应用（如涉及多步移项）
例如，解方程 ( (x 2) - 4(x 2) = 0 ) - 步骤： - 先展开并简化多项式： [ x 2 - 4x - 8 = 0 ] - 合并同类项： [ -3x - 6 = 0 ] - 解得： [ x = -2 ]
5. 因式分解在多项式的长除法中的应用
例如，计算 ( (4x^2 3x) ÷ (x 1) ) - 步骤： - 检查被除数和除数是否为因式分解后的形式。 - 进行多项式长除法： [ \begin{align} x 1 \, )\, 4x^2 3x \ 4x \quad \text{（被除数的首项系数为 } 4x^2 ÷ x = 4x \text{）} \ - (4x(x 1))
